Question

已知

OP

=(2，1)，

OA

=(1，7)，

OB

=(5，1)，设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）
（1）求使

CA

•

CB

取到最小值时的

OC

；
（2）根据（1）中求出的点C，求cos∠ACB．

Answer 1

分析：（1）根据题意设点C(x，

1

2

x)，从而将

CA

•

CB

数量积的坐标表示求出来，可得一个关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案；
（2）根据（1）中的点C，可以求得

CA

，

CB

的坐标，利用向量的数量积即可求得cos∠ACB的值．

解答：解：（1）∵

OP

=(2，1)，则直线OP的方程为y=

1

2

x，
∵C是直线OP上的一点，则设点C(x，

1

2

x)，
∴

CA

=

OA

-

OC

=(1-x，7-

1

2

x)，

CB

=

OB

-

OC

=(5-x，1-

1

2

x)，
∴

CA

•

CB

=（1-x）（5-x）+（7-

1

2

x）（1-

1

2

x）
=

5

4

x2-10x+12
=

5

4

(x-4)2-8，
∴当x=4时，

CA

•

CB

取到最小值，此时C（4，2），
∴

OC

=(4，2)；
（2）由（1）可知，C（4，2），
∴

CA

=(-3，5)，

CB

=(1，-1)，
∴cos∠ACB=

CA • CB

|CA |•| CB |

=

-3-5

(-3)2+52 12+(-1)2

=-

4 17

17

，
故cos∠ACB=-

4 17

17

．

点评：本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了根据向量的数量积求解向量的夹角．根据数量积的定义可以求解两个向量的夹角，注意两个向量的夹角要共起点所形成的角，熟悉向量夹角的取值范围为[0，π]，其中夹角为0时，两向量同向，夹角为π时，两向量反向．属于中档题．