Question

8．正方形AC₁中，点P是DD₁中点，点O是底面中心，求证：B₁O⊥平面PAC．

Answer 1

分析 首先在矩形BB₁D₁D中，利用直角三角形的正切定义得到∠POD=∠BB₁O，从而证出PO⊥B₁O，然后利用直线AC与平面BB₁D₁D证出AC⊥B₁O，最后用直线与平面垂直的判定定理，可得到B₁O⊥平面PAC．

解答 证明：设正方体边长为1，连接B₁D₁，连接PO，在矩形BB₁D₁D中，BD=$\sqrt{2}$，OD=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴Rt△PDO中，PD=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠POD=$\frac{PD}{OD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$同理，Rt△BOB₁中，tan∠BB₁O=$\frac{OB}{B{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴锐角∠POD=∠BB₁O=90°-∠B₁OB⇒∠POD+∠B₁OB=90°，
∴∠POB₁=90°⇒PO⊥B₁O，
∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB₁，
∵AC⊥BD，BD∩BB₁=B，
∴AC⊥平面BB₁D₁D，结合B₁O?平面BB₁D₁D，
∴AC⊥B₁O，
∵PO∩AC=O，
∴B₁O⊥平面ACP．

点评 本题主要考查空间直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力和转化与化归的思想，属于中档题．