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如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,
OC=OE=4,DB⊥DC,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交
于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合),PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出满足条件
的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状:①能否成为菱形;②能否成
为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.
(1) y=-(x+1)(x-4)=-x2+3x+4  (2)存在符合条件的P点 (3)存在

试题分析:(1)在R t △BDC中,OD⊥BC, 由射影定理,得:OD2=OB•OC; 则OB=OD2
÷OC=1;∴B(-1,0); ∴B(-1,0),C(4,0),E(0,4); 设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x-4)(a≠0),则有:  a(0+1)(0-4)=4,a=-1;∴y=-(x+1)(x-4)=-x2+3x+4;
(2)因为A(-2,0),D(0,2); 所以直线AD:y=x+2; 联立抛物线的解析式可求得F
(1- ,3- ),G(1+  ,3+  ); 设P点坐标为(x,x+2)(1-  <x<
1+ ),则Q(x,-x2+3x+4); ∴PQ=-x2+3x+4-x-2=-x2+2x+2; 易知M( , )。 若
以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似,则△PQM为等腰直角三角形; ①以M为直
角顶点,PQ为斜边,则P(2-  ,4-  ); ②以Q为直角顶点,PM为斜边;
P( , )故存在符合条件的P点,且P点坐标为(2-  ,4-  )
或( , );(3)易知N( , ),M( , ); 设P点
坐标为(m,m+2), 则Q(m,-m2+3m+4);(1- <m<1+  ) ∴PQ=-m2+2m+2,
NM= ; ①若四边形PMNQ是菱形,则首先四边形PMNQ是平行四边形,有: MN=PQ,
即:-m2+2m+2=  , 解得m= ,m= (舍去);当m= 时,P( , ),Q
 , ) 此时PM≠MN,故四边形PMNQ不可能是菱形; ②由于当NQ∥PM时,
四边形PMNQ是平行四边形,所以若四边形PMNQ是梯形,只有一种情况:PQ∥MN,此
时P点坐标为( , ).
∴四边形PMNQ可以是等腰梯形,且P点坐标为( , ).
点评:此题是二次函数的综合题,考查的知识点有:直角三角形的性质,二次函数的确定,
等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等,同时还考查了分类讨论的数学思想;要特别
注意的是在判定梯形的过程中,不要遗漏证明另一组对边不平行的条件.
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