试题分析:(1)在R t △BDC中,OD⊥BC, 由射影定理,得:OD
2=OB•OC; 则OB=OD
2÷OC=1;∴B(-1,0); ∴B(-1,0),C(4,0),E(0,4); 设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x-4)(a≠0),则有: a(0+1)(0-4)=4,a=-1;∴y=-(x+1)(x-4)=-x
2+3x+4;
(2)因为A(-2,0),D(0,2); 所以直线AD:y=x+2; 联立抛物线的解析式可求得F
(1-
,3-
),G(1+
,3+
); 设P点坐标为(x,x+2)(1-
<x<
1+
),则Q(x,-x
2+3x+4); ∴PQ=-x
2+3x+4-x-2=-x
2+2x+2; 易知M(
,
)。 若
以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似,则△PQM为等腰直角三角形; ①以M为直
角顶点,PQ为斜边,则P(2-
,4-
); ②以Q为直角顶点,PM为斜边;
P(
,
)故存在符合条件的P点,且P点坐标为(2-
,4-
)
或(
,
);(3)易知N(
,
),M(
,
); 设P点
坐标为(m,m+2), 则Q(m,-m
2+3m+4);(1-
<m<1+
) ∴PQ=-m
2+2m+2,
NM=
; ①若四边形PMNQ是菱形,则首先四边形PMNQ是平行四边形,有: MN=PQ,
即:-m2+2m+2=
, 解得m=
,m=
(舍去);当m=
时,P(
,
),Q
(
,
) 此时PM≠MN,故四边形PMNQ不可能是菱形; ②由于当NQ∥PM时,
四边形PMNQ是平行四边形,所以若四边形PMNQ是梯形,只有一种情况:PQ∥MN,此
时P点坐标为(
,
).
∴四边形PMNQ可以是等腰梯形,且P点坐标为(
,
).
点评:此题是二次函数的综合题,考查的知识点有:直角三角形的性质,二次函数的确定,
等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等,同时还考查了分类讨论的数学思想;要特别
注意的是在判定梯形的过程中,不要遗漏证明另一组对边不平行的条件.