Question

选修4-5：不等式选讲
（I）解不等式|2+x|+|2-x|≤4
（II）a，b∈R⁺，证明：a2+b2≥

ab

(a+b)．

Answer 1

考点：不等式的证明,绝对值不等式的解法

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（I）令f（x）|2+x|+|2-x|=

-2x，x≤-2 4，-2＜x≤2 2x，x＞2

，分段解不等式f（x）≤4，再取并集即可；
（II）作差a²+b²-

ab

（a+b）后，提取公因式，逆用差的立方公式可得a²+b²-

ab

（a+b）=(

a

-

b

)2•（a+

ab

+b）≥0，从而可证得结论．

解答： 解：（I）∵f（x）|2+x|+|2-x|=

-2x，x≤-2 4，-2＜x≤2 2x，x＞2

，f（x）≤4，
∴

x≤-2 -2x≤4

①，或

-2＜x≤2 4≤4

②，或

x＞2 2x≤4

③，
解①得：x=-2；
解②得：-2＜x≤2；
解③得：x∈∅；
∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤2}；
（II）证明：∵a²+b²-

ab

（a+b）
=a²-a

ab

+b²-b

ab

=a•

a

（

a

-

b

）+b•

b

（

b

-

a

）
=（

a

-

b

）（a•

a

-b•

b

）
=（

a

-

b

）（

a

-

b

）（a+

ab

+b）
=(

a

-

b

)2•（a+

ab

+b）≥0，
∴a²+b²≥

ab

（a+b）．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查绝对值不等式的解法与作差法证明不等式，考查运算与推理能力，属于中档题．