Question

已知圆C：x²+y²+ax-4y+1=0（a∈R），过定点P（0，1）作斜率为1的直线交圆C于A、B两点，P为线段AB的中点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设E为圆C上异于A、B的一点，求△ABE面积的最大值；
（Ⅲ）从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有|MN|=|MP|，求|MN|的最小值，并求|MN|取最小值时点M的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圆心与弦的中点的连线和弦垂直得 CP⊥AB，根据斜率之积等于-1求出a的值．
（Ⅱ）先求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线AB的距离以及弦长AB，当EC⊥AB时，△ABE面积最大．
（Ⅲ）由|MN|²=|MC|²-4，得到|MP|²=|MC|²-4，设M（x，y），代入此等式化简得x-y=0，
|MN|的最小值即为|MP|的最小值（P到x-y=0的距离）：d2=|

0-1

2

|=

2

2

，解

x-y=0 x2+(y-1)2=( 2 2 )2

，
得M点坐标．

解答：解：（Ⅰ）由题知圆心C（-

a

2

，2），又P（0，1）为线段AB的中点，∴CP⊥AB，
∴k_PC=-1，即

1-2

0-(- a 2 )

=-1，∴a=2（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆C的方程为（x+1）²+（y-2）²=4，∴圆心C（-1，2），半径R=2，
又直线AB的方程是x-y+1=0
∴圆心C到AB的距离d1=|

-1-2+1

2

|=

2

，|AB|=2

4-2

=2

2

，
当EC⊥AB时，△ABE面积最大，Smax=

1

2

•2

2

•(2+

2

)=2+2

2

．（8分）
（Ⅲ）∵切线MN⊥CN，∴|MN|²=|MC|²-4，又|MN|=|MP|，∴|MP|²=|MC|²-4，
设M（x，y），则有x²+（y-1）²=（x+1）²+（y-2）²-4，化简得：x-y=0，
即点M在x-y=0上，∴|MN|的最小值即为|MP|的最小值（P到x-y=0的距离）：d2=|

0-1

2

|=

2

2

，
解方程组：

x-y=0 x2+(y-1)2=( 2 2 )2

，得：

x= 1 2 y= 1 2

，
∴满足条件的M点坐标为(

1

2

，

1

2

)（12分）

点评：本题考查圆的切线性质，两直线垂直的性质，点到直线的距离公式应用，以及求两直线的交点坐标的方法．