Question

5．设a、b＞0，a+b=5，则$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+3}$的取值范围为（1+2$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 令y=$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+3}$，则y²=（$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+3}$）²=9+2$\sqrt{ab+b+3a+3}$=9+2$\sqrt{-{a}^{2}+7a+8}$，利用配方法能求出$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+3}$的取值范围．

解答 解：令y=$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+3}$，
则y²=（$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+3}$）²=a+1+b+3+2$\sqrt{（a+1）（b+3）}$
=9+2$\sqrt{ab+b+3a+3}$
=9+2$\sqrt{-{a}^{2}+7a+8}$
=9+2$\sqrt{-（a-\frac{7}{2}）^{2}+\frac{81}{4}}$，
∴当a=$\frac{7}{2}$时，y_max=$\sqrt{9+2\sqrt{\frac{81}{4}}}$=3$\sqrt{2}$，
当a→0时，y_min→$\sqrt{9+2\sqrt{-\frac{49}{4}+\frac{81}{4}}}$=$\sqrt{9+4\sqrt{2}}$=$\sqrt{（1+2\sqrt{2}）^{2}}$=1+2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+3}$的取值范围为（1+2$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]．
故答案为：（1+2$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查函数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．