Question

【题目】给定椭圆C： =1（a＞b＞0）．设t＞0，过点T（0，t）斜率为k的 直线l与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）用a，b，k，t表示△OMN的面积S，并说明k，t应满足的条件；
（Ⅱ）当k变化时，求S的最大值g（t）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据题意，设l方程为y=kx+t， 将l方程代入C方程整理得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）=0；
△=4a4k2t2﹣4a2（t2﹣b2）（b2+a2k2）=4a2b2（b2+a2k2﹣t2）．
由△＞0得k，t应满足的条件为 b2+a2k2﹣t2＞0，
= = ．
所以 ，其中b2+a2k2＞t2
（Ⅱ） = ．
当 ，即 ，取 ，有 ，得 ．
当 ，即 ，b2+a2k2＞2t2 ， 有 ，
取k=0，得 ．
所以，当k变化时，S的最大值g（t）=
【解析】（Ⅰ）根据题意，设l方程为y=kx+t，联立直线与椭圆的方程可得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）=0；由根与系数的关系的关系表示|OT|和|xM﹣xN|，进而由三角形面积公式计算可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S的表达式，分 与 两种情况讨论，分析S的最大值，综合即可得答案．