Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以M（﹣1，0）为圆心的圆与直线 相切．
（1）求圆M的方程；
（2）过点（0，3）的直线l被圆M截得的弦长为 ，求直线l的方程．
（3）已知A（﹣2，0），B（2，0），圆M内的动点P满足|PA||PB|=|PO|2 ， 求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，圆M的半径r等于圆心M（﹣1，0）到直线 的距离，

即 ，∴圆M的方程为（x+1）2+y2=4

（2）解：当斜率存在时，设直线方程l：y=kx+3，则圆心到直线的距离 ，

∴ ，直线方程l：4x﹣3y+9=0

当直线斜率不存在时，则l：x=0，经检验满足条件

综上，直线方程l：4x﹣3y+9=0或x=0

（3）解：设P（x，y），由|PA||PB|=|PO|2，

得 ，即x2﹣y2=2．

∴ ．

∵点P在圆M内，∴（x+1）2+y2＜4，∴0≤y2＜4，∴﹣1≤y2﹣1＜3．

∴ 的取值范围为[﹣2，6）

【解析】（1）由直线与圆相切，得到圆心到切线的距离d等于半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心M到已知直线的距离d，即为圆M的半径，写出圆M方程即可；（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线l的方程；（3）设P（x，y），利用两点间的距离公式化简已知的等式，整理后得到x与y的关系式，再表示出两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算所求的式子，将表示出的关系式代入得到关于y的式子，由P在圆M内部，得到P与圆心M的距离小于半径列出不等式，即可求出所求式子的范围．