Question

【题目】已知函数 有一个零点为4，且满足.

（1）求实数和的值；

（2）试问：是否存在这样的定值，使得当变化时，曲线在点处的切线互相平行？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）讨论函数在上的零点个数.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3)当或时， 在有两个零点；当时， 在有一个零点.

【解析】试题分析：

(1)由题意得到关于实数b,c的方程组，求解方程组可得；

(2)假设存在满足题意，结合题意可知是一个与无关的定值，据此可得，平行直线的斜率为；

(3)函数的导函数，结合导函数的性质可得当或时， 在有两个零点；当时， 在有一个零点.

试题解析：

（1）由题意，解得；

（2）由（1）可知 ，

∴；

假设存在满足题意，则是一个与无关的定值，

即是一个与无关的定值，

则，即，平行直线的斜率为；

（3） ，

∴，

其中 ，

设两根为和，考察在上的单调性，如下表

1°当时， ， ，而，

∴在和上各有一个零点，即在有两个零点；

2°当时， ， ，而，

∴仅在上有一个零点，即在有一个零点；

3°当时， ，且，

①当时， ，则在和上各有一个零点，

即在有两个零点；

②当时， ，则仅在上有一个零点，

即在有一个零点；

综上：当或时， 在有两个零点；

当时， 在有一个零点.