【题目】选修4-5:不等式选讲
已知函数,
(1)当时,求不等式
的解集;
(2)若不等式的解集为空集,求实数
的取值范围.
【答案】(1)[0,4];(2)[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1].
【解析】试题分析:(1)求出当a=3时,f(x)的分段函数式,原不等式即化为一次不等式组,分别解得它们,再求并集即可;
(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)=|x-a|+|x-1|≥|(x-a)+(1-x)|=|1-a|,依题意可得|1-a|≥2,解之即可.
试题解析:
(1)当a=3时,f(x)=|x﹣3|+|x﹣1|,
即有f(x)=,
不等式f(x)≤4即为或
或
,
即有0≤x<1或3≤x≤4或1≤x<3,
则为0≤x≤4,
则解集为[0,4];
(2)依题意知,f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立,
∴2≤f(x)min;
由绝对值三角不等式得:f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|(x﹣a)+(1﹣x)|=|1﹣a|,
即f(x)min=|1﹣a|,
∴|1﹣a|≥2,即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2,
解得a≥3或a≤﹣1.
∴实数a的取值范围是[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1].
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【题目】已知直线l:2x+y﹣1=0与圆C:x2+y2=1相交于A,B两点.
(1)求△AOB的面积(O为坐标原点);
(2)设直线ax+by=1与圆C:x2+y2=1相交于M,N两点(其中a,b是实数),若OM⊥ON,试求点P(a,b)与点Q(0,1)距离的最大值.
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【题目】近年空气质量逐步雾霾天气现象增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸,呼吸困难等心肺疾病,为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;
(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病,现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其他方面的排查,记选出患胃病的女性人数为,求
的分布列、数学期望及方差,下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式,其中
.)
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【题目】已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式,并求出
的单调递增区间;
(2)将函数的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍,再将图象向右平移
个单位,得到
的图象,若存在
使得等式
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以M(﹣1,0)为圆心的圆与直线 相切.
(1)求圆M的方程;
(2)过点(0,3)的直线l被圆M截得的弦长为 ,求直线l的方程.
(3)已知A(﹣2,0),B(2,0),圆M内的动点P满足|PA||PB|=|PO|2 , 求 的取值范围.
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【题目】已知⊙O:x2+y2=2,⊙M:(x+2)2+(y+2)2=2,点P的坐标为(1,1).
(1)过点O作⊙M的切线,求该切线的方程;
(2)若点Q是⊙O上一点,过Q作⊙M的切线,切点分别为E,F,且∠EQF= ,求Q点的坐标;
(3)过点P作两条相异直线分别与⊙O相交于A,B,且直线PA与直线PB的倾斜角互补,试判断直线OP与AB是否平行?请说明理由.
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