Question

4．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短轴一个端点到右焦点的距离为$\sqrt{3}$，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线$y=kx+\sqrt{2}$与椭圆C交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横纵坐标的积，结合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$求k的值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{a=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=1，
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
将y=kx+$\sqrt{2}$代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，得$（1+3{k}^{2}）{x}^{2}+6\sqrt{2}kx+3=0$．
由△=$（6\sqrt{2}k）^{2}-12（1+3{k}^{2}）=12（3{k}^{2}-1）$＞0，得k²$＞\frac{1}{3}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{1+3{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$，得${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}+\sqrt{2}）（k{x}_{2}+\sqrt{2}）$
=$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{2}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2$
=$（{k}^{2}+1）•\frac{3}{1+3{k}^{2}}-\sqrt{2}k•\frac{6\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}+2$
=$\frac{5-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=1，解得k=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故k的值为$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．