Question

如图分别是正三棱台ABC-A₁B₁C₁的直观图和正视图，O，O₁分别是上下底面的中心，E是BC中点．

（1）求正三棱台ABC-A₁B₁C₁的体积；（注：棱台体积公式：V=

1

3

（S_上+

S上•S下

+S_下）h，其中s_上为棱台上底面面积，s_下为棱台下底面面积，h为棱台高）
（2）求平面EA₁B₁与平面A₁B₁C₁的夹角的余弦；
（3）若P是棱A₁C₁上一点，求CP+PB₁的最小值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用V=

1

3

（S_上+

S上•S下

+S_下）h，求正三棱台ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）设O，O₁分别是上下底面的中心，E是BC中点，F是B₁C₁中点．以O₁为原点，过O₁平行B₁C₁的线为x轴建立空间直角坐标系O₁-xyz，利用向量的夹角公式即可求解；
（3）利用展开图，结合余弦定理求CP+PB₁的最小值．

解答： 解：（1）由题意，AC=2

3

，A₁C₁=4

3

，正三棱台高为

3

，
∴S_上=3

3

，S_下=12

3

，
∴V=

1

3

（S_上+

S上•S下

+S_下）h=21；
（2）设O，O₁分别是上下底面的中心，E是BC中点，F是B₁C₁中点．以O₁为原点，过O₁平行B₁C₁的线为x轴建立空间直角坐标系O₁-xyz．C₁（-2

3

，2，0），C（-

3

，1，

3

），E（0，1，

3

），A₁（0，-4，0），B₁（2

3

，2，0），
∴

A1E

=（0，1，

3

），

A1B1

=（2

3

，6，0），
设平面EA₁B₁的一个法向量

n

=（x，y，z），则

5y+ 3 z=0 3 x+3y=0

取

n

=（-3，

3

，-5），取平面A₁B₁C₁的一个法向量

m

=（0，0，1），设所求角为θ，则cosθ=

5 37

37

；
（3）将梯形A₁ACC₁绕A₁C₁旋转到A₁A′C′C₁，使其与△A₁B₁C₁成平角，
cos∠C′C₁A₁=cos∠CC₁A₁=

21

7

，sin∠CC₁A₁=

2 7

7

，
∴cos∠CC₁B₁=cos（∠CC₁A₁+

π

3

）=-

21

14

，
△C′C₁B₁中，C′C₁=

3

，C₁B₁=4

3

，
由余弦定理得C′B₁=

67

，即CP+PB₁的最小值为

67

．

点评：本题考查正三棱台ABC-A₁B₁C₁的体积，考查平面EA₁B₁与平面A₁B₁C₁的夹角的余弦，考查侧面展开图的运用，考查学生推理论证的能力，属于中档题．