Question

已知全集U=R，非空集合A={x|

x-2

x-(3a+1)

＜0}，B={x|

x-a2-2

x-a

＜0}．命题p：x∈A，命题q：x∈B
（Ⅰ）当a=

1

2

时，若p真q假，求x的取值范围；
（Ⅱ）若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：（Ⅰ）将a代入，化简集合A，B，由p真q假即求A∩（C_UB）；
（Ⅱ）由q是p的必要条件得到p⇒q，所以A⊆B由此得到集合端点的关系解之．

解答： 解：（Ⅰ）当a=

1

2

时，A={x|

x-2

x- 5 2

＜0}={x|2＜x＜

5

2

}，B={x|

x- 9 4

x- 1 2

＜0}={x|

1

2

＜x＜

9

4

}，
则C_UB={x|x≤

1

2

，或者x≥

9

4

}，若p真q假，则A∩C_UB={x|

9

4

≤x＜

5

2

}．
所以a=

1

2

时，p真q假，x的取值范围是{x|

9

4

≤x＜

5

2

}．
（Ⅱ）若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．---------（5分）
因为a²+2＞a，所以B={x|a＜x＜a²+2}．--------------（6分）
当3a+1＞2，即a＞

1

3

时，A={x|2＜x＜3a+1}，由A⊆B得

a≤2 a2+2≥3a+1

，
解得

1

3

＜a≤

3- 5

2

；--------------（8分）
当3a+1=2，即a=

1

3

时，A=∅，符合题意；
当3a+1＜2，即a＜

1

3

时，A={x|3a+1＜x＜2}，
由A⊆B得

a≤3a+1 a2+2≥2

解得-

1

2

≤a＜

1

3

；--------------（10分）
综上，a∈{x|-

1

2

，

3- 5

2

}．--------------（12分）

点评：本题考查了不等式的解法以及复合命题的运用，关键是由已知条件得到关于不等式端点的关系，同时考查了讨论的思想，属于中档题．