Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

1

3

a_n+

2

3

，则{a_n}的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：首先利用数列的递推关系求出Sn-1=

1

3

an-1+

2

3

，然后利用相减法得到

an

an-1

=-

1

2

，进一步求得数列是等比数列，利用关系式直接求出结果．

解答： 解：已知数列{a_n}的前n项和S_n=

1

3

a_n+

2

3

，①
根据递推关系式：Sn-1=

1

3

an-1+

2

3

（n≥2）②
所以：①-②得：an=

1

3

(an-an-1)
整理得：

an

an-1

=-

1

2

数列{a_n}是以a₁为首项，公比为-

1

2

的等比数列．
当n=1时，S1=

1

3

a1+

2

3

解得：a₁=1
所以：an=a1(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n-1
故答案为：an=(-

1

2

)n-1

点评：本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列通项公式的求法．