练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），直线l：x=my+c与椭圆C交于两点M，N且当m=-
    		3
    3
    时，M是椭圆C的上顶点，且△MF1F2的周长为6．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线：x=4分别相交于点P，Q，问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
    分析：（1）根据m=-
    		3
    3
    时，直线的倾斜角为120°，又△MF1F2的周长为6，即可求得椭圆方程；
    （2）利用特殊位置猜想结论：当m=0时，直线l的方程为：x=1，求得以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6，再进行证明即可．
    解答：解：（1）当m=-
    		3
    3
    时，直线的倾斜角为120°，又△MF1F2的周长为6
    所以：
    2a+2c=6
    c
    a
    =cos60°
    …（3分）
    解得：a=2，c=1⇒b=
    		3
    ，…（5分）
    所以椭圆方程是：
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ；…（6分）
    （2）当m=0时，直线l的方程为：x=1，此时，M，N点的坐标分别是(1，
    3
    2
    )，(1，-
    3
    2
    )    ，又A点坐标是（-2，0），
    由图可以得到P，Q两点坐标分别是（4，3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6，…（8分）
    证明如下：
    设点M，N点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则直线AM的方程是：
    y
    y1
    =
    x+2
    x1+2
    ，
    所以点P的坐标是(4，
    6y1
    x1+2
    )    ，同理，点Q的坐标是(4，
    6y2
    x2+2
    )    ，…（9分）
    由方程组
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    x=my+1
    得到：3（my+1）2+4y2=12⇒（3m2+4）y2+6my-9=0，
    所以：y1+y2=
    -6m
    3m2+4
    ，y1y2=
    -9
    3m2+4
    ，…（11分）
    从而：
    F2P
    •
    F2Q
    =(4-1)(4-1)+
    36y1y2
    (x1+2)(x2+2)
    =9+
    36y1y2
    (my1+3)(my2+3)

    =9+
    36y1y2
    m2y1y2+3m(y1+y2)+9
    =9+
    -9×36
    -9m2-18m2+27m2+36
    =0，
    所以：以PQ为直径的圆一定过右焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6．…（13分）
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用特殊位置，猜想结论，再进行证明．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    1
    2
    ，且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的短轴长为2
    		3
    ，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
    DA
    =λ
    DB
    ，若λ∈[
    3
    8
    ，
    1
    2
    ]，求直线AB的斜率的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过点A（1，
    		3
    2
    ），且离心率e=
    		3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•房山区二模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的短轴长为2，离心率为
    		2
    2
    ，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
    AP+BQ
    PQ
    ，若直线l的斜率k≥
    		3
    ，则λ的取值范围为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案