Question

（2013•宝山区二模）已知函数f（x）=x|x|．当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，则实数a的取值范围是

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性，结合单调性可将不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为x+2a＞2x，将恒成立问题转化为最值问题后，易得答案．

解答：解：∵y=|x|为偶函数，y=x为奇函数
∴f（x）=x|x|奇函数
当x≥0时，f（x）=x²为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得
函数f（x）在R上增函数
又∵不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为（x+2a）|x+2a|＞4x•|x|=2x•|2x|=f（2x）
故当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，
即当x∈[a，a+1]时，不等式x+2a＞2x恒成立
即x＜2a恒成立
即a+1＜2a
解得a＞1
故实数a的取值范围是（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，恒成立问题，其中分析出函数的单调性并将不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为x+2a＞2x是解答的关键．