Question

已知函数f(x)＝－2x＋4，令S_n＝f()＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)．
(1)求S_n；
(2)设b_n＝(a∈R)且b_n<b_n＋1对所有正整数n恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）S_n＝3n－1    （2）(，＋∞)

(1)方法一　因为f(x)＋f(1－x)＝6，
S_n＝f()＋f()＋…＋f()＋f(1)，
∴2S_n＝＋＋…＋＋2f(1)＝6n－2．
即S_n＝3n－1．
方法二　S_n＝f()＋f()＋…＋f()＋f(1)
＝－2(＋＋…＋＋)＋4n＝3n－1．
(2)由<，得：aⁿ(－)<0(*)，
显然a≠0．
①当a<0时，则－>0，
∴由(*)式得aⁿ<0．
但当n为偶数时，aⁿ>0，矛盾，所以a<0不合题意；
②当a>0时，因为aⁿ>0恒成立，
由aⁿ(－)<0，
得a>＝1＋，
当n＝1时，1＋取最大值，
故a>．
综上所述，a的取值范围为(，＋∞)．