Question

2．已知若0$＜α＜\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
求（1）求cosα的值；
（2）求$cos（{α+\frac{β}{2}}）$的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式求得cosα、$cos（{α+\frac{β}{2}}）$的值．

解答 解：（1）∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}＜\frac{π}{4}+α＜\frac{3π}{4}$．
∵$cos（\frac{π}{4}+α）=\frac{1}{3}$，∴$sin（\frac{π}{4}+α）=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴$cosα=cos（\frac{π}{4}+α-\frac{π}{4}）=cos（\frac{π}{4}+α）cos\frac{π}{4}+sin（\frac{π}{4}+α）sin\frac{π}{4}=\frac{{\sqrt{2}+4}}{6}$．
（2）∵$-\frac{π}{2}＜β＜0$，∴$\frac{π}{4}＜\frac{π}{4}-\frac{β}{2}＜\frac{π}{2}$．
∵$cos（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$sin（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$cos（α+\frac{β}{2}）=cos[（\frac{π}{4}+α）-（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）]=cos（\frac{π}{4}+α）cos（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）+sin（\frac{π}{4}+α）sin（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）=\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．