Question

13．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[x²-2（2a-1）x+8]．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围；
（3）f（x）在[-1，+∞]上有意义，求a的取值范围；
（4）f（x）在[a，+∞]上为减函数，求a的取值范围；
（5）a=$\frac{3}{4}$时，y=f[sin（2x-$\frac{π}{3}$）]，x$∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$的值域．
（6）关于x的方程f（x）=-1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+3）在[1，3]上有且只有一个解，求a的取值；
（7）f（x）≤-1在x∈[2，3]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x²-2（2a-1）x+8＞0恒成立，由判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得z=x²-2（2a-1）x+8取到一切的正数，即有判别式△≥0，解不等式即可得到所求范围；
（3）由题意可得x²-2（2a-1）x+8＞0在x≥-1恒成立，对x讨论，由参数分离和函数的单调性即可得到所求范围；
（4）由复合函数的单调性，可得2a-1≤a，且a²-2（2a-1）•a+8＞0，解不等式即可得到所求范围；
（5）由正弦函数的性质可得sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，再由二次函数的值域及对数函数的单调性，可得值域；
（6）由题意可得，x²-4ax+2=0在[1，3]上有且只有一个解．即4a=x+$\frac{2}{x}$，求出右边函数的值域，即可得到所求范围；
（7）由题意可得，x²-2（2a-1）x+8≥2在在x∈[2，3]上恒成立，即有2（2a-1）≤x+$\frac{6}{x}$在x∈[2，3]上恒成立．求出右边函数的最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）由题意可得x²-2（2a-1）x+8＞0恒成立，
即有判别式△＜0，即为4（2a-1）²-32＜0，
解得$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$；
（2）由题意可得z=x²-2（2a-1）x+8取到一切的正数，
即有判别式△≥0，即为4（2a-1）²-32≥0，
解得a≤$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，或a≥$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$；
（3）由题意可得x²-2（2a-1）x+8＞0在x≥-1恒成立，
x=0时，8＞0显然成立；当x＞0时，2（2a-1）＜x+$\frac{8}{x}$，
由g（x）=x+$\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{8}{x}}$=4$\sqrt{2}$，当且仅当x=2$\sqrt{2}$，取到最小值．
即有2（2a-1）＜4$\sqrt{2}$，解得a＜$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$；
当-1≤x＜0时，2（2a-1）＞x+$\frac{8}{x}$，g（x）=x+$\frac{8}{x}$在[-1，0）递减，
即有x=-1时，取到最大值-9，则2（2a-1）＞-9，
解得a＞-$\frac{7}{4}$．
综上可得a的范围是（-$\frac{7}{4}$，$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$）；
（4）由题意可得2a-1≤a，解得a≤1；
又a²-2（2a-1）•a+8＞0，解得-$\frac{4}{3}$＜a＜2．
则a的取值范围是（-$\frac{4}{3}$，1]；
（5）x$∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
即有t=sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
由a=$\frac{3}{4}$可得，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²-x+8）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[（x-$\frac{1}{2}$^）2+$\frac{31}{4}$]，
y=f（t）在t=$\frac{1}{2}$时，取得最大值$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{31}{4}$，
t=-$\frac{1}{2}$时，取得最小值$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{35}{4}$，
即有所求值域为[$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{35}{4}$，$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{31}{4}$]；
（6）f（x）=-1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+3）在[1，3]上有且只有一个解，
即为x²-4ax+2=0在[1，3]上有且只有一个解．
即4a=x+$\frac{2}{x}$，由y=x+$\frac{2}{x}$在（1，$\sqrt{2}$）递减，（$\sqrt{2}$，3）递增，
可得函数的最小值为2$\sqrt{2}$，最大值为$\frac{11}{3}$，x=1时，y=3，
即有4a=2$\sqrt{2}$或3＜4a≤$\frac{11}{3}$，
解得a的范围是{$\frac{\sqrt{2}}{2}$}∪（$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{12}$]；
（7）f（x）≤-1在x∈[2，3]上恒成立，即为
x²-2（2a-1）x+8≥2在在x∈[2，3]上恒成立，
即有2（2a-1）≤x+$\frac{6}{x}$在x∈[2，3]上恒成立．
由函数y=x+$\frac{6}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{6}{x}}$=2$\sqrt{6}$，当且仅当x=$\sqrt{6}$∈[2，3]取得最小值．
即有2（2a-1）≤2$\sqrt{6}$，解得a≤$\frac{\sqrt{6}+1}{2}$．

点评 本题考查复合函数的单调性和值域的求法，考查不等式恒成立和方程有解问题的解法，考查正弦函数的性质的运用，属于中档题和易错题．