Question

若对任意的x＞0，不等式x³-kx+2≥0恒成立，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意将参数k分离出来，对于含x的式子，利用导数求其极值点和最值点，根据不等式x³-kx+2≥0恒成立，求出k的范围．

解答：解：∵x＞0，不等式x³-kx+2≥0恒成立，
∴k≤x²+

2

x

，令h（x）=x²+

2

x

，只要求得h（x）的最小值即可；
h′（x）=2x-

1

x2

=2×

x2-1

x2

，令h′（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，
∵x＞0，
∴当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
∴h（x）在x=1处取极小值，也是最小值；
∴h_min（x）=h（1）=1+2=3，
∴k≤3，
故答案为（-∞，3]．

点评：此题主要考查了参数分离思想，还考查了基本初等函数求导问题，对此要熟练掌握．