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设各项均为正数的数列的前项和为,且满足.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:对一切正整数,有.

(1);(2);(3)详见解析.

解析试题分析:(1)将代入方程得到,结合题中条件(数列的各项均为正数,得到)求出的值,从而得到的值;(2)由十字相乘法结合得到的表达式,然后在的情况下,由求出数列的表达式,并验证是否满足该表达式,从而得到数列的通项公式;(3)解法一是利用放缩法得到
,于是得到,最后利用裂项求和法证明题中的不等式;解法二是保持不放缩,在的条件下放缩为
,最后在时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.
(1)令得:,即
,即
(2)由,得
,从而
所以当时,

(3)解法一:当时,




.
证法二:当时,成立,
时,

 
.
考点:本题以二次方程的形式以及的关系考查数列通项的求解,以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题,考查学生的计算能力与逻辑推理能力,属于中等偏难题.

练习册系列答案
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若数列的前项和,则此数列的通项公式为       .

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已知数列的各项均为正数,是数列的前n项和,且
(1)求数列的通项公式;
(2)的值.

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设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记.(1)(1)求数列与数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,是否存在正整数,使得成立?若存在,找出一个正整数;若不存在,请说明理由.
(3)记,设数列的前项和为,求证:对于都有

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知是公差不为零的等差数列,,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.

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水土流失是我国西部大开发中最突出的问题,全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林,其中西部占70%,2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩,以后每年退耕土地面积递增12%.
(1)试问,从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题?
(2)为支持退耕还林工作,国家财政补助农民每亩300斤粮食,每斤粮食按0.7元计算,并且每亩退耕地每年补助20元,试问到西部地区基本解决退耕还林问题时,国家财政共需支付约多少亿元?

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已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列项和为,且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列项和
(3)在数列中,是否存在连续的三项,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的正整数的值;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:填空题

数列,则数列的前19项和为       

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

求下面各数列的前n项和:
(1),…
(2) ,…

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