Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ， 且a1 ， a2+5，a3成等差数列．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，

令n=1得：2S1=a2﹣22+1，

令n=2得：2S2=a3﹣23+1，

解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13

又2（a2+5）=a1+a3

解得a1=1

（2）解：由2Sn=an+1﹣2n+1+1，

得an+2=3an+1+2n+1，

又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，

所以an+1=3an+2n对n∈N*成立

∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，

∴an+2n=3n，

∴an=3n﹣2n

（3）解：（法一）

∵an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1

∴ ≤ ，

∴ + + +…+ ≤1+ + +…+ = ＜

【解析】（1）在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，令分别令n=1，2，可求得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又a1 ， a2+5，a3成等差数列，从而可求得a1；（2）由2Sn=an+1﹣2n+1+1， 得an+2=3an+1+2n+1①，an+1=3an+2n②，由①②可知{an+2n}为首项是3，3为公比的等比数列，从而可求an；（3）由an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1可得 ≤ ，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；
【考点精析】通过灵活运用等差数列的性质和数列的通项公式，掌握在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．