Question

已知函数f(x)=(x2-x-

1

a

)eax，其中a＞0
（1）若f（x）的极大值点为x=-2，求a的值
（2）若不等式f(x)+

3

a

≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，令f′（x）=0，得x=-

2

a

，或x=1．再由f（x）的极大值点为x=-2，能求出a．
（2）讨论满足f′（x）=0的点将区间（0，+∞）分成几段，然后利用列表法求出f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，从而求出最小值，使[f（x）+

3

a

]min≥0恒成立，求出a的取值范围即可．

解答：解：（1）f′（x）=（2x-1）e^ax+a（x2-x-

1

a

）e^ax
=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，
令f′（x）=0，得x=-

2

a

，或x=1．
∴极值点为x=-

2

a

，或x=1．
∵f（x）的极大值点为x=-2，
∴-

2

a

=-2，
解得a=1．
（2）∵不等式f(x)+

3

a

≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
f(x)=(x2-x-

1

a

)eax，其中a＞0，
∴(x2-x-

1

a

)eax+

3

a

≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
设g（x）=（x2-x-

1

a

）e^ax+

3

a

，
则g′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，
令g′（x）=0，得x=-

2

a

，或x=1．
∵a＞0，∴列表讨论：

x	（0，- 2 a ）	- 2 a	（- 2 a ，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∵g（0）=

2

a

＞0，g（1）=

3-ea

a

＜0，
∴f（1）=

3-ea

a

为最小值
∴

3-ea

a

≥0对x∈[0，+∞）恒成立，
∴a∈（0，ln3]．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力．