Question

9．【理】已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设BQ，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线PQ方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得k_BP+k_BQ=0，再由已知k_BP•k_BQ=-3，可解k_BP=$\sqrt{3}$，k_BQ=-$\sqrt{3}$，由此可知∠BNM与∠BMN的大小，由三角形内角和定理可得∠MBN．

解答 解：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入抛物线方程，得x²-2pkx+2p=0，△＞0，
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，k_BP=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，k_BQ=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$，
k_BP+k_BQ=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2k•2p-2•2pk}{2p}$=0，即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP•k_BQ=-3②，
联立①②解得k_BP=$\sqrt{3}$，k_BQ=-$\sqrt{3}$，
所以∠BNM=$\frac{π}{3}$，∠BMN=$\frac{π}{3}$，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=$\frac{π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查直线、抛物线方程及其位置关系等知识，解决本题的关键是通过计算发现直线BP、BQ斜率互为相反数．