Question

已知等差数列{a_n}的前3项和为6，前8项和为-4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（4-a_n）q^n-1（q≠0，n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a₁和d，进而根据等差数列的通项公式求得a_n．
（2）根据（1）中的a_n，求得b_n，进而根据错位相减法求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，
由已知得

3a1+3d=6 8a1+28d=-4

解得a₁=3，d=-1
故a_n=3+（n-1）（-1）=4-n；
（2）由（1）的解答得，b_n=n•q^n-1，于是
S_n=1•q⁰+2•q¹+3•q²+…+n•q^n-1．
若q≠1，将上式两边同乘以q，得
qS_n=1•q¹+2•q²+3•q³+…+n•qⁿ．
将上面两式相减得到
（q-1）S_n=nqⁿ-（1+q+q²+…+q^n-1）
=nqⁿ-

qn-1

q-1

于是S_n=

nqn+1-(n+1)qn+1

(q-1)2

若q=1，则S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

所以，S_n=

nqn+1-(n+1)qn+1 (q-1)2 (q≠1) n(n+1) 2 (q=1)

．

点评：本小题主要考查数列的基础知识和划归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．