Question

各项均为正数的等比数列中，
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）若等差数列满足，求数列的前项和。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

试题分析：（Ⅰ）求数列通项公式，由题意，是各项均为正数的等比数列，故求出即可，根据，利用等比数列的通项公式，求出公比，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和，首先确定数列的通项公式，即先确定等差数列的通项公式，由（Ⅰ）知，，利用，可求得，，从而可得，，这是一个等差数列与一个等比数列对应项积所组成的数列，故可利用利用错位相减法，可求数列的前项和．
试题解析：（Ⅰ）由题意知，q>0,2q+q²=15， 解得q=3(q=-5不合题意舍去)      (2分)
∴a_n=3^n-1                     （4分）
（Ⅱ）设等差数列{b_n}的公差为d,则b₁=3,b₁+2d=9,∴d=3,
b_n=3+3(n-1)=3n       （7分）
a_nb_n=n·3ⁿ
∴S_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+(n-1)×3^n-1+n×3ⁿ
3S_n=1×3²+2×3³+…+(n-1)×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹
两式相减得
-2S_n=3¹+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹                (9分)
=(3ⁿ-1)-n×3ⁿ⁺¹                              （11分）
                             （12分）