Question

数列{}的前n项和为，．
（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）若，数列的前项和，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析

试题分析：（Ⅰ） 由，令可求，时，利用可得与之间的递推关系，构造等可证等比数列；（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求，利用错位相减法可求数列的和；（Ⅲ）由（Ⅱ）进而可求，利用（）进行不等式放缩，求数列{}的和即可求证.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以  ① 当时，，则，             （1分）
② 当时，，       （2分）
所以，即，
所以，而，             （3分）
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．   （4分）
（Ⅱ）由(1)得．
所以 ①，
②，               （5分）
②-①得：，                    （7分）
                 .    （9分）
（Ⅲ）由(Ⅰ)知                                      （10分）
（1）当时，成立；                      （11分）
（2）当时，，，     （13分）
所以.    （14分）
（本题放缩方法不唯一,请酌情给分）