Question

【题目】已知f（x）= ，x∈R．
（1）求证：对一切实数x，f（x）=f（1﹣x）恒为定值．
（2）计算：f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵f（x）= ，x∈R．

∴对一切实数x，

f（x）+f（1﹣x）= +

= = + =1，

∴对一切实数x，f（x）+f（1﹣x）恒为定值1

（2）解：∵f（x）+f（1﹣x）=1，

∴f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）

=[f（﹣6）+f（7）]+[f（﹣5）+f（6）]+[f（﹣4）+f（5）]+[f（﹣3）+f（4）]

+[f（﹣2）+f（3）]+[f（﹣1）+f（2）]+[f（0）+f（1）]

=1+1+1+1+1+1+1=7

【解析】（1）由f（x）= ，x∈R．利用函数性质能推导出对一切实数x，f（x）+f（1﹣x）恒为定值1．（2）由f（x）+f（1﹣x）=1，能示出f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值的相关知识，掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．