Question

20．如图，以AC=2为直径的⊙B，点E为$\widehat{AC}$的中点，点D在直径AC延长线上，CD=1，FC⊥平面BED，FC=2．
（Ⅰ）证明：EB⊥FD；
（Ⅱ）求点B到平面FED的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：EB⊥平面FBD，即可证明EB⊥FD；
（Ⅱ）在平面FCH内过C作CK⊥FH，则CK⊥平面FED．即可求点B到平面FED的距离．

解答 （Ⅰ）证明：∵FC⊥平面BED，BE?平面BED，∴EB⊥FC．
又点E为$\widehat{AC}$的中点，B为直径AC的中点，∴EB⊥BC．
又∵FC∩BC=C，∴EB⊥平面FBD．
∵FD?平面FBD，∴EB⊥FD．
（Ⅱ）解：如图，在平面BEC内过C作CH⊥ED，连接FH．

则由FC⊥平面BED知，ED⊥平面FCH．
∵Rt△DHC∽Rt△DBE，∴$\frac{DC}{DE}$=$\frac{CH}{BE}$．
在Rt△DBE中，DE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CH=$\frac{DC•BE}{DE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
在平面FCH内过C作CK⊥FH，则CK⊥平面FED．
∵FC=2．∴FH²=FC²+CH²=$\frac{21}{5}$，∴FH=$\frac{\sqrt{105}}{5}$．
∴CK=$\frac{FC•CH}{FH}$=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．
∵C是BD的中点，∴B到平面FED的距离为2CK=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查点到平面距离的计算，属于中档题．