Question

11．已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）ABC-A₁B₁C₁体积为$\frac{9}{4}$，底面边长为$\sqrt{3}$．若P为底面A₁B₁C₁的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA₁为PA与平面A₁B₁C₁所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA₁，再利用正三角形的性质可得A₁P，在Rt△AA₁P中，利用tan∠APA₁=$\frac{A{A}_{1}}{{A}_{1}P}$=$\sqrt{3}$，可得结论．

解答 解：如图所示，
∵AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∴∠APA₁为PA与平面A₁B₁C₁所成角，
∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，∴∠APA₁为PA与平面ABC所成角．
∵${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}×3$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴V_{三棱柱ABC-A1B1C1}=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$AA₁，解得AA₁=$\sqrt{3}$．
又P为底面正三角形A₁B₁C₁的中心，∴A₁P=$\frac{2}{3}$DA₁=1，
在Rt△AA₁P中，tan∠APA₁=$\frac{A{A}_{1}}{{A}_{1}P}$=$\sqrt{3}$，
∴∠APA₁=$\frac{π}{3}$．
故选B．

点评 本题考查线面角，掌握正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．