Question

6．已知函数$f（x）=cos（2x+\frac{2π}{3}）+2{cos^2}x$，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）将函数f（x）图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性、单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=cos（2x+\frac{2π}{3}）+2{cos^2}x$=cos2xcos$\frac{2π}{3}$-sin2xsin$\frac{2π}{3}$+cos2x+1
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=cos（2x+$\frac{π}{3}$），故它的最下坐正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，故函数f（x）的减区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）将函数f（x）图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度后得到函数g（x）=cos[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$）]=cos（2x-$\frac{π}{3}$） 的图象，
在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故当 2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$时，函数g（x）取得最小值为-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性、单调性，定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．