Question

已知

e1

，

e2

是平面上的一组基底，若

a

=

e1

+λ

e2

，

b

=-2λ

e1

-

e2

．
（1）若

a

与

b

共线，求λ的值；
（2）若

e1

，

e2

是夹角为60°的单位向量，当λ≥0时求

a

•

b

的最大值．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平行向量与共线向量,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）哟偶

a

与

b

共线时可得-

2λ

1

=

-1

λ

，解方程可得；
（2）由数量积的运算可得

a

•

b

=-λ²-3λ-

1

2

，λ≥0，由二次函数区间的最值可得．

解答： 解：（1）∵

e1

，

e2

是平面上的一组基底，且

a

=

e1

+λ

e2

，

b

=-2λ

e1

-

e2

，
当

a

与

b

共线时可得-

2λ

1

=

-1

λ

，解得λ=±

2

2

；
（2）∵

e1

，

e2

是夹角为60°的单位向量，
∴

a

•

b

=（

e1

+λ

e2

）•（-2λ

e1

-

e2

）=-2λ-λ-（1+2λ²）×

1

2

=-λ²-3λ-

1

2

，
∵λ≥0，
∴由二次函数可知当λ=0时，上式取最大值-

1

2

点评：本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的平行和二次函数区间的最值，属中档题．