Question

【题目】椭圆C1： +y2=1，椭圆C2： （a＞b＞0）的一个焦点坐标为（ ，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且 ，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆C2： =1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（ ，0），

则c= ，即有a2﹣b2=5，①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 =1， =1，

两式相减的， + =0，

由于x1+x2=4，y1+y2=﹣2，

则有kAB= = =1，②

由①②解得，a= ，b= ．

则椭圆C2的方程为 =1；

（2）解：设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

则 x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，

由 ，

可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

∴ ，

∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2

=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=10+4（x1x2+2y1y2）=10．

∴x1x2+2y1y2=0，

∴ =﹣ ，即kOMkON=﹣ ，

∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为﹣

【解析】（1）求出椭圆C2的c，设出A（x1 ， 1），B（x2 ， y2），代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，得到a，b的方程，解方程解得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）设P（x0 ， y0），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），代入椭圆方程，再由向量的坐标相等，得到方程，代入整理，即可得到x1x2+2y1y2=0，再由斜率公式，即可得到斜率之积为定值．