Question

复数z₁=3+4i，z₂=1-i，z₃=c+（c-2）i（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点分别为A、B、C．
（1）若∠BAC是锐角，求实数c的取值范围；
（2）若复数z满足|z-z₁|=1，求|z-z₂|的取值范围．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义,复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）找到复数在复平面内的对应点，∠BAC是锐角，则向量

AB

•

AC

＞0，化简即可．
（2）z对应的点在以（3，4）点为圆心，以1为半径的圆上，|z₁-z₂|=2

5

，则|z-z₂|的最小值为2

5

-1，最小值为2

5

+1，进而得到其范围．

解答： 解：（1）由题意得：则A（3，4），B（1，-1），C（c，c-2），
∴

AB

=（-2，-5），

AC

=（c-3，c-6），
∵∠BAC是锐角，
∴

AB

•

AC

＞0，
即-2（c-3）-5（c-6）＞0，
∴c＜

36

7

．
又由c=1时，

AB

与

AC

同向，此时夹角为0，
故实数c的取值范围为c＜

36

7

，且c≠1．
（2）若复数z满足|z-z₁|=1，则
z对应的点在以（3，4）点为圆心，以1为半径的圆上，
又由|z₁-z₂|=

(3-1)2+(4+1)2

=2

5

，
故2

5

-1≤|z-z₂|≤2

5

+1

点评：本题考查复数和向量的对应关系，余弦定理，复数代数形式的运算，是中档题．