Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁y₂=-4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若

OE

=2（

OA

+

OB

）（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求△EAB的面积；
（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k₀，k₁，k₂．
求证：当k₀为定值时，k₁+k₂也为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,压轴题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线l的方程为x-

p

2

=my，与抛物线方程联立消去x，由韦达定理化简可求抛物线的方程；（2）由向量相等表示出点E的坐标，列出方程组，化简求出△EAB的面积；（3）设出点M的坐标，表示出三条直线的斜率，化简可证明．

解答： 解：（1）点F（

p

2

，0），设直线l的方程为x-

p

2

=my，
则与y²=2px联立，消去x得，
y²-2pmy-p²=0，
又∵经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁y₂=-4．
∴y₁y₂=-p²=-4，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（2）∵

OE

=2（

OA

+

OB

）=（2（x₁+x₂），2（y₁+y₂）），
∴点E（2（x₁+x₂），2（y₁+y₂）），
则由题意得，

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2 x1-1=my1 x2-1=my2 [2(y1+y2) ]2=4×2(x1+x2)

，
不妨设m＞0，
解得，m=

2

2

，|y₁-y₂|=2

6

，点E（8，4

2

），
直线l的方程为2x-

2

y-2=0，
则|AB|=

1+ 1 2

×2

6

=6，
点E到直线l的距离d=

|2×8- 2 ×4 2 -2|

4+2

=

6

，
则S_△EAB=

1

2

×6×

6

=3

6

．
（3）设点M（-1，y），则
k₀=

y-0

-1-1

，则y=-2k₀，
k₁+k₂=

y1-y

x1+1

+

y2-y

x2+1

=

(y1-y)(my2+2)+(y2-y)(my1+2)

(my1+2)(my2+2)

=

2my1y2+2(y1+y2)-m(y1+y2)y-4y

m2y1y2+2m(y1+y2)+4

又∵y₁y₂=-4，y₁+y₂=4m，
则k₁+k₂=

2m(-4)+2×4m-m×4my-4y

m2(-4)+2m×4m+4

=

-4(m2+1)y

4(m2+1)

=-y=2k₀．
∵k₀为定值，
∴k₁+k₂=2k₀也为定值．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系，常用到韦达定理及距离公式，化简较复杂，化简要细致，属于难题．