Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-3x²（a为常数）．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，直接由f′（1）=0求解a的值；
（2）求出原函数的导函数，分a=0，a＞0，a＜0三种情况分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调区间．

解答：解：（1）由f（x）=ax³-3x²，得f′（x）=3ax²-6x．
∵x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=3a-6=0，解得a=2；
（2）∵f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
若a=0，则f′（x）=-6x，当x＞0时，f′（x）0．
函数的减区间为（0，+∞），增区间为（-∞，0）；
若a＞0，当x∈（-∞，0），(

2

a

，+∞)时，f′（x）＞0，当x∈(0，

2

a

)时，f′（x）＜0
函数的减区间为(0，

2

a

)，增区间为（-∞，0），(

2

a

，+∞)；
若a＜0，当x∈(-∞，

2

a

)，(0，+∞)时，f′（x）0
函数的减区间为(-∞，

2

a

)，(0，+∞)，增区间为(

2

a

，0)．

点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了导函数的符号与原函数单调性之间的关系，是中档题．