Question

如图，在五棱锥S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=

3

，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°．
（1）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；
（2）证明：BC⊥平面SAB．

Answer 1

分析：（1）连接BE，延长BC、ED交于点F，根据线面所成角的定义可知∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角，然后在三角形SBE中求出此角即可．
（2）欲证BC⊥平面SAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面SAB内两相交直线垂直，而BC⊥BA，SA⊥BC，又SA∩BA=A，满足定理所需条件．

解答：解：（1）连接BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=60°，
∴△CDF为正三角形，∴CF=DF．
又BC=DE，∴BF=EF．因此，△BFE为正三角形，
∴∠FBE=∠FCD=60°，∴BE∥CD
所以∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角．
∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，
∴SB=2

2

，同理SE=2

2

，
又∠BAE=120°，所以BE=2

3

，从而，cos∠SBE=

6

4

，
∴∠SBE=arccos

6

4

．
所以异面直线CD与SB所成的角是arccos

6

4

．
（2）由题意，△ABE为等腰三角形，∠BAE=120°，
∴∠ABE=30°，又∠FBE=60°，
∴∠ABC=90°，∴BC⊥BA
∵SA⊥底面ABCDE，BC?底面ABCDE，
∴SA⊥BC，又SA∩BA=A，
∴BC⊥平面SAB．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．