Question

数列a_n的首项a1=a≠

1

4

，且an+1=

an+ 1 4 ，n为正奇数 1 2 an ，n为正偶数

记bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3，…．
（1）计算a₂，a₃，a₄；
（2）计算b₁，b₂，b₃；判断数列b_n是否为等比数列，如果是，证明你的结论；如果不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将递推关系中的n依次用2，3，4代替求出a_n中的三项．
（2）将bn=a2n-1-

1

4

中的n依次用1，2，3代替求出b_n中的三项，据前三项猜测是等比数列，利用递推关系迭代出b_n中相邻两项的关系，据等比数列的定义得证．

解答：解：（1）a2=a1+

1

4

=a+

1

4

，
a3=

1

2

a 2=

1

2

(a+

1

4

)，
a4=a3+

1

4

=

1

2

a+

3

8

（2）b1=a1-

1

4

=a-

1

4

≠0
b2=a3-

1

4

=

1

2

(a-

1

4

)，
b3=a5-

1

4

=

1

4

(a-

1

4

)．
归纳猜想出数列b_n为首项a-

1

4

，公比是

1

2

等比数列．
证明：bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn(n∈N*)，
所以数列b_n为首项a-

1

4

，公比是

1

2

等比数列．

点评：本题考查利用递推关系求数列的特殊项；通过迭代的方法证明数列是等比数列；等比数列的定义．