Question

15．若正方形ABCD的一条边在直线y=2x-17上，另外两个顶点在抛物线y=x²上．则该正方形面积的最小值为80．

Answer 1

分析 设C，D在抛物线上，C（x₁，x₁²），D（x₂，x₂²）．利用CD∥AB，可得k_CD=k_AB，再利用正方形ABCD可得|BC|=|CD|，即可解出，进而求出面积．

解答 解：不妨设C，D在抛物线上，C（x₁，x₁²），D（x₂，x₂²）．不妨设x₁＜x₂，
∵CD∥AB，∴k_CD=k_AB，∴化为x₁+x₂=2．①
由正方形ABCD可得|BC|=|CD|，
∴$\frac{|2{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-17|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）^{2}}$，②
①②联立解得x₁=3或9或-1或-7．
取3或9时，|BC|=4$\sqrt{5}$，∴正方形ABCD的面积S取得最小值80．
故答案为80．

点评 本题考查了正方形的性质、平行线之间的斜率关系、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．