Question

10．如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点；
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E-ABC的体积；
（3）求EC与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）证明EF∥AD，利用线面平行的判定定理，可得EF∥平面PAD；
（2）求出V_P-ABCD，即可求三棱锥E-ABC的体积；
（3）取AB的中点G，连接EG，CG，则∠ECG为EC与平面ABCD所成角．

解答 （1）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点
∴EF∥BC       …（1分）
∵BC∥AD
∴EF∥AD       …（2分）
∵AD?平面PAD，EF?平面PAD
∴EF∥平面PAD  …（3分）
（2）解：∵AP=AB，BP=2，AP⊥平面ABCD
∴AB=AP=$\sqrt{2}$  …（4分）
∵S_矩形ABCD=AB•BC=2$\sqrt{2}$
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_矩形ABCD•PA=$\frac{4}{3}$ …（5分）
∴三棱锥E-ABC的体积V=$\frac{1}{4}$V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$ …（6分）
（3）解：取AB的中点G，连接EG，CG，则∠ECG为EC与平面ABCD所成角，
∵EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CG=$\sqrt{4+\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠ECG=$\frac{1}{3}$．

点评 本小题主要考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质、棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于中档题．