Question

2．已知函数f（x）=lnx．
（1）若F（x）=$\frac{2f（x）}{x}$，求F（x）的单调区间；
（2）若G（x）=[f（x）]²-kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数F（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为$\frac{2}{x}$lnx-k≤0在（0，+∞）上恒成立，记H（x）=$\frac{2}{x}$lnx-k，（x＞0），利用导数研究函数H（x）的单调性，最后得到：为使G'（x）=H（x）≤0在（0，+∞）上恒成立必须且只需$\frac{2}{e}$-k≤0恒成立，列出不等式求出k的范围．

解答 解：（1）$F'（x）=\frac{2（1-lnx）}{x^2}$，由F'（x）=0得x=e，
∵当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，F（x）为增函数，
当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）为减函数，
（2）∵G（x）=（lnx）²-kx的定义域为（0，+∞），
∴G′（x）=$\frac{2lnx}{x}$-k，
依题意G′（x）-$\frac{2lnx}{x}$-k≤0在（0，+∞）内恒成立，
只需k≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立，
由（1）知$F（x）=\frac{2lnx}{x}$，F（x）_max=F（e）=$\frac{2}{e}$，
所以k的取值范围是[$\frac{2}{e}$，+∞）．

点评 此题考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据导函数的正负得到函数的增减性进而求得函数的极值，是一道综合题．