Question

11．已知两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”．给出下列直线：①y=x+1；②y=2x+1；③$y=\frac{4}{3}x$；④y=2，其中为“B型直线”的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①④
• D． ③④

Answer 1

分析 首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足|PM|-|PN|=6的点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支；进而可得其方程，若该直线为“B型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案．

解答 解：根据题意，满足|PM|-|PN|=6的点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支；
则其中焦点坐标为M（-5，0）和N（5，0），即c=5，a=3，
可得b=4；
故双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1，（x＞0）
依题意，若该直线为“B型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，
进而分析可得：①y=x+1；④y=2与其相交，
②y=2x+1；③$y=\frac{4}{3}x$与双曲线的右支没有交点；
故选C．

点评 本题考查双曲线与直线的位置关系，要掌握判断双曲线与直线相交，交点位置的判定方法．