Question

3．已知函数f（x）=-x²+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-2x+2x²，讨论函数g（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，分类讨论，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

解答 解：（Ⅰ）因为当a=2时，f（x）=-x²+2lnx，
所以f′（x）=-2x+$\frac{2}{x}$，
因为f（1）=-1，f'（1）=0，
所以切线方程为y=-1；
（Ⅱ）g（x）=x²-2x+alnx的导数为g′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$，
a≤0，单调递增区间是（ $\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）；单调递减区间是（0，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）；
0＜a＜$\frac{1}{2}$，单调递增区间是（0，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$），（ $\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）；
单调递减区间是（ $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）；
a≥$\frac{1}{2}$，g（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题．