Question

8．已知偶函数f（x）在（-∞，0]上满足：当x₁，x₂∈（-∞，0]且x₁≠x₂时，总有$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}＜0$，则不等式f（x-1）≥f（x）的解集为$\{x∈R|x≤\frac{1}{2}\}$．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）在（-∞，0]上单调递减，故它在（0，+∞）上单调递增，故由由不等式f（x-1）≥f（x），可得|x-1|≥|x|，

解答 解：∵偶函数f（x）在（-∞，0]上满足：当x₁，x₂∈（-∞，0]且x₁≠x₂时，总有$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}＜0$，
故f（x）在（-∞，0]上单调递减，故它在（0，+∞）上单调递增．
由不等式f（x-1）≥f（x），可得|x-1|≥|x|，∴（x-1）²≥x²，∴x≤$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\{x∈R|x≤\frac{1}{2}\}$．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．