Question

20．（Ⅰ）设角$α=\frac{π}{6}$，求$\frac{{2sin（{π+α}）cos（{π-α}）-cos（{π+α}）}}{{1+{{sin}^2}α+sin（{π-α}）-{{cos}^2}（{π+α}）}}$的值；
（Ⅱ）已知$\frac{tanα}{tanα-6}=-1$，求值：$\frac{2cosα-3sinα}{3cosα+4sinα}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用诱导公式化简，再结合特殊角的三角函数值得答案；
（Ⅱ）由已知求得tanα，再把$\frac{2cosα-3sinα}{3cosα+4sinα}$转化为正切求值．

解答 解：（Ⅰ）∵$α=\frac{π}{6}$，
∴$\frac{{2sin（{π+α}）cos（{π-α}）-cos（{π+α}）}}{{1+{{sin}^2}α+sin（{π-α}）-{{cos}^2}（{π+α}）}}$
=$\frac{（-2sinα）（-cosα）+cosα}{1+si{n}^{2}α+sinα-co{s}^{2}α}$=$\frac{sin2α+cosα}{2si{n}^{2}α+sinα}$=$\frac{sin\frac{π}{3}+cos\frac{π}{6}}{2×si{n}^{2}\frac{π}{6}+sin\frac{π}{6}}=\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由$\frac{tanα}{tanα-6}=-1$，得tanα=3．
∴$\frac{2cosα-3sinα}{3cosα+4sinα}$=$\frac{2-3tanα}{3+4tanα}=\frac{2-3×3}{3+4×3}$=$-\frac{7}{15}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．