Question

13．已知焦点在y轴的椭圆C上、下焦点分别是F₁，F₂，且长轴长为4，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直线y=mx+1与椭圆将于A、B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，求m的值；
（3）已知真命题：“如果点P（x₀，y₀）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，那么过点P的椭圆的切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1．”利用上述结论，解答下面问题：
若点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线的PF₁，PF₂斜率分别为k₁，k₂．若k≠0，试证明k（k₁+k₂）为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．可得：2a=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解出即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为：（4+m²）x²+2mx-3=0，由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=（1+m²）x₁•x₂+m（x₁+x₂）+1=0，把根与系数的关系代入即可得出m．
（3）设P（x₀，y₀），则经过点P的椭圆的切线方程为：${x}_{0}x+\frac{{y}_{0}y}{4}$=1，可得k=-$\frac{4{x}_{0}}{{y}_{0}}$．k₁+k₂=$\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{{x}_{0}}$=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，即可得出k（k₁+k₂）为定值．

解答 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
可得：2a=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+1}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化为：（4+m²）x²+2mx-3=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，x₁•x₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=x₁•x₂+（mx₁+1）（mx₂+1）
=（1+m²）x₁•x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
∴$\frac{-3（1+{m}^{2}）}{4+{m}^{2}}$-$\frac{2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$+1=0，化为：4m²=1，解得m=$±\frac{1}{2}$．
（3）证明：设P（x₀，y₀），则经过点P的椭圆的切线方程为：${x}_{0}x+\frac{{y}_{0}y}{4}$=1，
则k=-$\frac{4{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
k₁+k₂=$\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{{x}_{0}}$=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴k（k₁+k₂）=-$\frac{4{x}_{0}}{{y}_{0}}$•$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-8为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、椭圆的切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．