Question

判断并证明函数f（x ）=

1-x

1+x

在（-1，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数单调性的定义证明即可．

解答： 解：函数f（x ）=

1-x

1+x

在（-1，+∞）上是减函数．
证明如下：
设任意的x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

1-x1

1+x1

-

1-x2

1+x2

=

(1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1)

(1+x1)(1+x2)

，
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴（1-x₁）（1+x₂）-（1-x₂）（1+x₁）=2（x₂-x₁）＞0，（1+x₁）（1+x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x ）=

1-x

1+x

在（-1，+∞）上是减函数．

点评：考查运用定义法证明函数单调性的能力，解题时注意作差时式子的变形，属基础题．