Question

8．已知a、b满足b=-$\frac{1}{2}{a^2}$+3lna（a＞0），点Q（m、n）在直线y=2x+$\frac{1}{2}$上，则（a-m）²+（b-n）²最小值为$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 根据y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²；以及y=2x+$\frac{1}{2}$，所以（a-m）²+（b-n）²就是曲线y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²与直线y=2x+$\frac{1}{2}$之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-m）²+（b-n）²的最小值．

解答 解：∵b=-$\frac{1}{2}$a²+3lna（a＞0），
设b=y，a=x，则有：y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，
∴（a-m）²+（b-n）²就是曲线y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²与直线y=2x+$\frac{1}{2}$之间的最小距离的平方值，
对曲线y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，求导：y′（x）=$\frac{3}{x}$-x，
与y=2x+$\frac{1}{2}$平行的切线斜率k=2=$\frac{3}{x}$-x，解得：x=1或x=-3（舍），
把x=1代入y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，得：y=-$\frac{1}{2}$，即切点为（1，-$\frac{1}{2}$），
切点到直线y=2x+$\frac{1}{2}$的距离：$\frac{|2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴（a-m）²+（b-n）²的最小值就是（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$．
故答案为：$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查对数运算法则的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．