Question

已知函数f（x）=（ax+3）e^x，其中e自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）设函数g（x）=

1

2

x-lnx+t．当a=-1时，存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥g（x）成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）分a=0，a＜0，a＞0三种情况进行讨论，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥g（x）成立等价于f（x）_max≥g（x）_min，由（1）即导数可分别求得两函数的最值；

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=3e^x，则f（x）在R上单增，无单减区间；
当a≠0时，由f（x）=（ax+3）e^x，得f′（x）=a（x+1+

3

a

）e^x，
如a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜-1-

3

a

，由f′（x）＜0，可得x＞-1-

3

a

，
∴f（x）的单增区间为(-∞，-1-

3

a

)，单减区间为(-1-

3

a

，+∞)；
如a＞0，由f′（x）＞0，可得x＞-1-

3

a

，由f′（x）＜0，可得x＜-1-

3

a

，
∴f（x）的单增区间为(-1-

3

a

，+∞)，单减区间为(-∞，-1-

3

a

)．
（2）当a=-1时，由（1）可知f（x）在区间（0，2）上单调递增，在区间（2，+∞）上单调递减，
则f(x)max=f(2)=e2，
由g(x)=

1

2

x-lnx+t知g′（x）=

1

2

-

1

x

=

x-2

2x

，
易知g（x）在区间（0，2）上单减，在区间（2，+∞）上单增．
则g（x）_min=1-ln2+t，
则存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥g（x）成立等价于f（x）_max≥g（x）_min，
∴e²≥1-ln2+t，即t∈（-∞，e²+ln2-1]．

点评：考查导数的应用、图象的细致分析．本题考查的解题模式不是常见的将函数相减构造新的函数，而是两侧独立求最值，这是题型之一，可完整学生对题型的认识．另，本题考核存在性，与前面考核恒成立相对应，形成完整的题型考核．