Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率与双曲线y²-

x2

2

=1的离心率互为倒数，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为

F

1

，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设第（2）问中的C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足

QR

•

RS

=0，求|

QS

|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,棱锥的结构特征,球的体积和表面积

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由双曲线的方程即可得出双曲线的离心率=

3

，进而点到椭圆的离心率

c

a

=

3

3

，于是

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，得到2a²=3b²．以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆为x²+y²=b²．由于直线l：y=x+2与次圆相切，利用点到直线的结论公式可得

2

2

=b，解出即可．
（2）根据抛物线的定义即可得出；
（3）由（2）知：Q（0，0），设R(

y12

4

，y1)，S(

y22

4

，y2)，再利用数量积运算可得y₁，y₂的关系，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵双曲线的离心率=

1+ 2 1

=

3

，
∴

c

a

=

3

3

，
即

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，
∴2a²=3b²，
以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆为x²+y²=b²．
∵直线l：y=x+2与次圆相切，
∴

2

2

=b，
∴b=

2

，a=

3

，
∴椭圆C₁的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）∵|MP|=|MF₂|，
∴动点M到定直线l₁：x=-1的距离等于它到定点F₁（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹C₂是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，
∴点M的轨迹C₂的方程为y²=4x．
（3）由（2）知：Q（0，0），设R(

y12

4

，y1)，S(

y22

4

，y2)，
则

QR

=(

y 2 1

4

，y1)，

RS

=(

y22-y12

4

，y2-y1)，
∵

QR

•

RS

=0，
∴

y12(y22-y12)

16

+y1(y2-y1)=0，
由y₁≠y₂，y₁≠0，左式可化简为：y2=-(y1+

16

y1

)，
∴y22=

y

2 1

+

256

y12

+32≥2

256

+32=64，
当且仅当y12=

256

y12

，即y₁=±4时取等号，
又|

QS

|=

( y22 4 )2+y22

=

1

4

(y22+8)2-64

(y22≥64)，
∴当y22=64，即y₂=±8时，|

QS

|min=8

5

，
故|

QS

|的取值范围是[8

5

，+∞)．

点评：本题综合考查了圆锥曲线的定义标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、数量积运算、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．